3.3. Použitie priamej Eulerovej metódy na riešenie lineárneho systému

Priama Eulerova metóda sa môže použiť na opis lineárneho dynamického systému (systému lineárnych diferenciálnych rovníc) v maticovom tvare. Začneme odvodzovaním z rovníc (3.16) a (3.26), kde ich kombináciou dostaneme:

(3.33)\[ \begin{align} \frac{\mathrm{d} \mathbf{x}(t)}{ \mathrm{d}t} \thickapprox \frac{ \mathbf{x}_{n+1}- \mathbf{x}_{n}}{h} = \mathbf{A} \, \mathbf{x}_n + \mathbf{B} \, \mathbf{u}_n \end{align} \]

Následne použijeme vhodné matematické úpravy, ktoré nás povedú k výslednej rovnici

(3.34)\[\begin{split} \begin{align} \begin{split} \mathbf{x}_{n+1} - \mathbf{x}_n &= h \, \left( \mathbf{A} \, \mathbf{x}_n + \mathbf{B} \, \mathbf{u}_n \right), \\ \mathbf{x}_{n+1} &= \mathbf{x}_n + h \, \left( \mathbf{A} \, \mathbf{x}_n + \mathbf{B} \, \mathbf{u}_n \right), \\ \mathbf{x}_{n+1} &= \mathbf{x}_n + h \, \mathbf{A} \, \mathbf{x}_n + h \, \mathbf{B} \, \mathbf{u}_n. \end{split} \end{align} \end{split}\]

Tým získame rovnicu v tvare

(3.35)\[ \begin{align} \mathbf{x}_{n+1} &= \left( \mathbf{I}+ h \, \mathbf{A}\right) \, \mathbf{x}_n + h \, \mathbf{B}\, \mathbf{u}_n, \end{align} \]

kde \( \mathbf{I}\) je jednotková matica.

Vzťah môžeme ešte zjednodušiť substitúciou

(3.36)\[ \begin{align} \mathbf{x}_{n+1} = \underbrace{\left( \mathbf{I}+ h \, \mathbf{A}\right)}_{ \mathbf{F}} \, \mathbf{x}_n + \underbrace{h \, \mathbf{B}}_{ \mathbf{G}}\, \mathbf{u}_n, \end{align} \]

kedy definujeme maticu \( \mathbf{F}\) ako

(3.37)\[ \begin{align} \mathbf{F} = \mathbf{I}+ h \, \mathbf{A} \end{align} \]

a maticu \( \mathbf{G}\) ako,

(3.38)\[ \begin{align} \mathbf{G} = h \, \mathbf{B}, \end{align} \]

Potom je priama Eulerova metóda pre lineárny dynamický systém v maticovom tvare definovaná vzťahom

(3.39)\[ \begin{align} \mathbf{x}_{n+1} = \mathbf{F} \, \mathbf{x}_n + \mathbf{G} \, \mathbf{u}_n. \end{align} \]

Tým sme úspešne odvodili vzorec pre priamu Eulerovu metódu pre lineárny systém v maticovom tvare. Tento vzorec nám umožňuje numericky riešiť lineárne dynamické systémy a predikovať ich správanie v čase.