Všeobecný elektrický obvod

Obsah

4.2. Všeobecný elektrický obvod#

Pri riešení tohto príkladu postupujeme rovnako ako v predchádzajúcom príklade.

../../../_images/general_circuit_2.png — Obr. 4.2 Elektrický obvod.#

Najprv použijeme druhý Kirchhoffov zákon na získanie prvej diferenciálnej rovnice

(4.7)#

\begin{array}{r} \begin{matrix} \begin{aligned} - u_{s} + u_{r_{L}} + u_{L} + u_{C} & = 0, \\ - u_{s} + r_{L} i_{L} + L \frac{d i_{L}}{d t} + u_{C} & = 0, \\ L \frac{d i_{L}}{d t} & = - r_{L} i_{L} - u_{C} + u_{s}, \\ \frac{d i_{L}}{d t} & = - \frac{r_{L}}{L} i_{L} - \frac{1}{L} u_{C} + \frac{1}{L} u_{s} . \end{aligned} \end{matrix} \end{array}

Ďalej použijeme prvý Kirchhoffov zákon na získanie druhej diferenciálnej rovnice

(4.8)#

\begin{array}{r} \begin{matrix} \begin{aligned} - i_{L} + i_{C} + i_{R_{C}} + i_{R_{Z}} & = 0, \\ - i_{L} + C \frac{d u_{C}}{d t} + \frac{1}{R_{C}} u_{C} + \frac{1}{R_{Z}} u_{C} & = 0, \\ C \frac{d u_{C}}{d t} & = i_{L} - \frac{1}{R_{C}} u_{C} - \frac{1}{R_{Z}} u_{C}, \\ \frac{d u_{C}}{d t} & = \frac{1}{C} i_{L} - \frac{1}{R_{C} C} u_{C} - \frac{1}{R_{Z} C} u_{C}, \\ \frac{d u_{C}}{d t} & = \frac{1}{C} i_{L} - (\frac{1}{R_{C}} + \frac{1}{R_{Z}}) \frac{1}{C} u_{C}, \\ \frac{d u_{C}}{d t} & = \frac{1}{C} i_{L} - \frac{1}{R C} u_{C} . \end{aligned} \end{matrix} \end{array}

(4.9)#

\begin{array}{r} \frac{1}{R} = (\frac{1}{R_{C}} + \frac{1}{R_{Z}}) . \end{array}

4.2.1. Stavový opis#

Získané diferenciálne rovnice prevedieme do maticového stavu

(4.10)#

\begin{array}{r} \begin{matrix} \begin{aligned} \frac{d i_{L}}{d t} & = - \frac{r_{L}}{L} i_{L} - \frac{1}{L} u_{C} + \frac{1}{L} u_{s}, \\ \frac{d u_{C}}{d t} & = \frac{1}{C} i_{L} - \frac{1}{R C} u_{C} . \end{aligned} \end{matrix} \end{array}

(4.11)#

\begin{array}{r} \dot{x} \dot{x} = \frac{d x x}{d t} = A A x x + B B u u, \end{array}

(4.12)#

\begin{array}{r} \begin{matrix} \frac{d}{d t} (\begin{array}{c} i_{L} \\ u_{C} \end{array}) = (\begin{array}{c} - \frac{r_{L}}{L} & - \frac{1}{L} \\ \frac{1}{C} & - \frac{1}{R C} \end{array}) (\begin{array}{c} i_{L} \\ u_{C} \end{array}) + (\begin{array}{c} \frac{1}{L} \\ 0 \end{array}) u_{s} . \end{matrix} \end{array}

(4.13)#

\begin{array}{r} \begin{matrix} x x = (\begin{array}{c} i_{L} \\ u_{C} \end{array}), u u = u_{s}, A A = (\begin{array}{c} - \frac{r_{L}}{L} & - \frac{1}{L} \\ \frac{1}{C} & - \frac{1}{R C} \end{array}), B B = (\begin{array}{c} \frac{1}{L} \\ 0 \end{array}) . \end{matrix} \end{array}

4.2.2. Matlab/Octave#

Ukáž kód

% elektricky obvod
clc
clear all
close all

% parametre obvodu
rL=1e-3;
rC=5e6;
us=10;
L=10e-6;
C=10e-6;
Rz=100;

% krok simulacie
dt=1e-6;
% simulacny cas
Tsim=0.001;

R=(Rz*rC)/(rC+Rz);

% stavove matice
A=[-rL/L  -1/L;
  1/C    -1/(C*R)];

B=[1/L  0;
  0   0];

u=[us;0];

% matice nepriamej eulerovej metody
F=inv(eye(size(A))-dt*A);

G=F*dt*B;

% pociatocne podmienky
iL=0;
uC=0;
x=[iL;uC];

n=1;
% nepriama eulerova metoda   
for t = 0:dt:Tsim
  x=F*x+G*u;
  iL(n)=x(1);
  uC(n)=x(2);
  time(n)=t;
  n=n+1;
end

iC=(iL-(uC/R));
iR=uC/Rz;

% priebehy
figure 
subplot(4,1,1)
plot(time,uC)
ylabel('uC [V]');
xlabel('t [s]');
grid on

subplot(4,1,2)
plot(time,iL)
ylabel('iL [A]');
xlabel('t [s]');
grid on

subplot(4,1,3)
plot(time,iC)
ylabel('iC [A]');
xlabel('t [s]');
grid on

subplot(4,1,4)
plot(time,iR)
ylabel('iR [A]');
xlabel('t [s]');
grid on

Online simulácia

Spustiť simuláciu

../../../_images/plot_vseob.png — Obr. 4.3 Priebehy elektrických veličín.#