3.4. Nepriama Eulerova metóda#

Je nazývaná tiež ako implicitná Eulerova metóda. Priama Eulerova metóda má niekoľko nevýhod, ktoré ju robia nevhodnou pre niektoré aplikácie. Jednou z týchto nevýhod je, že môže byť nestabilná, čo znamená, že numerické riešenie môže divergovať v čase. Tento problém je často spôsobený veľkým krokom \(h\) v porovnaní s časovými konštantami systému. Eulerova nepriama metóda teda oproti Eulerovej priamej metóde nemá problém so stabilitou konvergencie.

3.4.1. Odvodenie aproximáciou#

Postupujeme podobne ako pri priamej Eulerovej metóde. Upravíme limitu definície derivácie

(3.40)#\[ \begin{align} \dot {x} = \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{x(t) - x(t-h)}{h}. \end{align} \]

Limitu \(h \rightarrow 0\) nahradíme malým diskrétnym krokom \(h = \Delta t\), potom dostane

(3.41)#\[ \begin{align} \label{eq:der_appr_back} \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} \approx \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{x(t) - x(t-h)}{h}. \end{align} \]

Teraz môžeme aproximovať diferenciálnu rovnicu (3.24) diferenčnou rovnicou

(3.42)#\[ \begin{align} \frac{x(t) - x(t-h)}{h} = f (t, \; x(t)). \end{align} \]

Úpravami dostaneme tvar diferenčnej rovnice

(3.43)#\[ \begin{align} x(t) = x(t-h) + h \, f (t, \; x(t)). \end{align} \]

Pre čas \(t+h\) dostaneme tvar rovnice

(3.44)#\[ \begin{align} x(t+h) = x(t) + h \, f (t+h, \; x(t+h)). \end{align} \]

To je presne jeden krok nepriamej Eulerovej metódy. Ak zavedieme značenie \(t_{n+1} = t_n+h\) a \(x_n = x(t_n)\), potom dostaneme rovnicu nepriamej Eulerovej metódy ako

(3.45)#\[ \begin{align} x_{n+1} = x_n + h \, f (t_{n+1}, \; x_{n+1}). \end{align} \]

Tu môžeme vidieť rozdiel v člene priamej metódy \(f(t_n, x_n)\) oproti členu v nepriamej metóde \(f(t_{n+1}, x_{n+1})\). Táto metóda je implicitná, nová hodnota \(x_{n+1}\) vystupuje na oboch stranách rovnice, preto musíme riešiť algebrickú rovnicu pre neznámu \(x_{n+1}\).

Pre nelineárne systémy je potrebné použiť jednu z iteračných numerických metód pre nájdenie koreňov funkcie napr. Newton-Raphsonovu metódu.

V rámci tejto problematiky sa budeme zaoberať analýzou lineárnych obvodov (systémov) t. j. nelineárne prvky ako dióda a tranzistor nahradíme ich lineárnym ekvivalentom. Preto nám bude stačiť vhodná úprava rovnice tak, aby sme dostali člen \(x_{n+1}\) len na jednej strane rovnice.

Môžeme si to ukázať na nasledujúcom príklade, kde pravá strana differencálne rovnice je \(f (t_{n+1}, \; x_{n+1}) = K \, x_{n+1}\). Potom

(3.46)#\[\begin{split} \begin{align} \begin{split} x_{n+1} &= x_n + h \, f (t_{n+1}, \; x_{n+1}), \\ x_{n+1} &= x_n + h \, K \, x_{n+1}, \\ x_{n+1} - h \, K \, x_{n+1} &= x_n, \\ (1 - h \, K) \, x_{n+1} &= x_n, \\ x_{n+1} &= \frac{x_n}{1 - h \, K}. \end{split} \end{align} \end{split}\]