Paralelný RLC obvod

Obsah

4.4. Paralelný RLC obvod#

Ďalším typom rezonančného obvodu je paralelný RLC rezonančný obvod, ktorého správanie je tiež závislé od parametrov obvodu, predovšetkým od koeficientu vodivosti. Budiacou veličinou paralelného rezonančného obvodu je prúdový napájací zdroj.

../../../_images/parallel_rlc_circuit.png — Obr. 4.7 Paralelný RLC obvod.#

Najprv použijeme prvý Kirchhoffov zákon na získanie prvej diferenciálnej rovnice

(4.26)#\[\begin{split} \begin{align} %\label{eqn:diff_system1} \begin{split} i_{s} - i_{R} - i_L - i_C &= 0, \\ i_{s} - \frac{1}{R} u_C - i_L - C \frac{d \, u_c}{d \,t} &= 0, \\ - C \frac{d \, u_c}{d \,t} &= i_L + \frac{1}{R} u_C - i_{s}, \\ \frac{d \, u_c}{d \,t} &= -\frac{1}{C} i_L - \frac{1}{R \, C} u_C + \frac{1}{C} i_{s}. \end{split} \end{align} \end{split}\]

Ďalej použijeme druhý Kirchhoffov zákon na získanie druhej diferenciálnej rovnice

(4.27)#\[\begin{split} \begin{align} %\label{eqn:diff_system1} \begin{split} -u_L +u_c &= 0, \\ -L \frac{di_L}{dt} + u_C &= 0, \\ -L \frac{di_L}{dt} &= u_C, \\ \frac{di_L}{dt} &= \frac{1}{L} u_C. \end{split} \end{align} \end{split}\]

4.4.1. Stavový opis#

Získané diferenciálne rovnice prevedieme do maticového stavu

(4.28)#\[\begin{split} \begin{align} \begin{split} \frac{d \, u_c}{d \,t} &= -\frac{1}{C} i_L - \frac{1}{R \, C} u_C + \frac{1}{C} i_{s}, \\ \frac{di_L}{dt} &= \frac{1}{L} u_C. \end{split} \end{align} \end{split}\]

(4.29)#\[ \begin{align} \pmb{\dot{x}} = \frac{\mathrm{d} \, \pmb{x}}{\mathrm{d} t}=\pmb{A} \, \pmb{x}+ \pmb{B} \, \pmb{u}, \end{align} \]

(4.30)#\[\begin{split} \begin{align} \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t} \begin{pmatrix} i_L \\ u_C \end{pmatrix} = % \begin{pmatrix} 0 & \frac{1}{L} \\ -\frac{1}{C} & -\frac{1}{R \, C} \end{pmatrix} % \begin{pmatrix} i_{L} \\ u_{C} \end{pmatrix} + % \begin{pmatrix} 0 \\ \frac{1}{C} \end{pmatrix} % i_{s} . \end{align} \end{split}\]

(4.31)#\[\begin{split} \begin{align} \pmb{x} = \begin{pmatrix} i_L \\ u_C \end{pmatrix}, \, \pmb{u} = i_{s}, \, \pmb{A} = \begin{pmatrix} 0 & \frac{1}{L} \\ -\frac{1}{C} & -\frac{1}{R \, C} \end{pmatrix}, \, \pmb{B} = \begin{pmatrix} 0 \\ \frac{1}{C} \end{pmatrix}. \end{align} \end{split}\]

4.4.2. Paralelný RLC obvod bez vonkajšieho budenia#

../../../_images/parallel_rlc_circuit_2.png — Obr. 4.8 Paralelný RLC obvod bez vonkajšieho budenia.#

Najprv použijeme prvý Kirchhoffov zákon na získanie prvej diferenciálnej rovnice

(4.32)#\[\begin{split} \begin{align} %\label{eqn:diff_system1} \begin{split} - i_{R} - i_L - i_C &= 0, \\ - \frac{1}{R} u_C - i_L - C \frac{d \, u_c}{d \,t} &= 0, \\ - C \frac{d \, u_c}{d \,t} &= i_L + \frac{1}{R} u_C, \\ \frac{d \, u_c}{d \,t} &= -\frac{1}{C} i_L - \frac{1}{R \, C} u_C. \end{split} \end{align} \end{split}\]

Ďalej použijeme druhý Kirchhoffov zákon na získanie druhej diferenciálnej rovnice

(4.33)#\[\begin{split} \begin{align} %\label{eqn:diff_system1} \begin{split} -u_L +u_c &= 0, \\ -L \frac{di_L}{dt} + u_C &= 0, \\ -L \frac{di_L}{dt} &= u_C, \\ \frac{di_L}{dt} &= \frac{1}{L} u_C. \end{split} \end{align} \end{split}\]

4.4.3. Stavový opis#

Získané diferenciálne rovnice prevedieme do maticového stavu

(4.34)#\[\begin{split} \begin{align} \begin{split} \frac{d \, u_c}{d \,t} &= -\frac{1}{C} i_L - \frac{1}{R \, C} u_C, \\ \frac{di_L}{dt} &= \frac{1}{L} u_C. \end{split} \end{align} \end{split}\]

(4.35)#\[ \begin{align} \label{eqn:matrix_notation_x1} \pmb{\dot{x}} = \frac{\mathrm{d} \, \pmb{x}}{\mathrm{d} t}=\pmb{A} \, \pmb{x}+ \pmb{B} \, \pmb{u}, \end{align} \]

(4.36)#\[\begin{split} \begin{align} \label{eqn:matrix_notation_x2} \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t} \begin{pmatrix} i_L \\ u_C \end{pmatrix} = % \begin{pmatrix} 0 & \frac{1}{L} \\ -\frac{1}{C} & -\frac{1}{R \, C} \end{pmatrix} % \begin{pmatrix} i_{L} \\ u_{C} \end{pmatrix}. \end{align} \end{split}\]

(4.37)#\[\begin{split} \begin{align} \pmb{x} = \begin{pmatrix} i_L \\ u_C \end{pmatrix}, \, \pmb{u} = 0, \, \pmb{A} = \begin{pmatrix} 0 & \frac{1}{L} \\ -\frac{1}{C} & -\frac{1}{R \, C} \end{pmatrix}, \, \pmb{B} = 0. \end{align} \end{split}\]

4.4.4. Matlab/Octave#

Ukáž kód

% paralelny RLC obvod
clc
clear all
close all

% parametre obvodu
is = 1;
L=1e-3;
C=1e-3;
R=15;

% krok simulacie
dt=1e-6;
% simulacny cas
Tsim=150e-3;

% stavove matice
A=[0      1/L;
   -1/C    -1/(R*C)];

B=[0  0;
    1/C   0];

u=[is;0];

% matice nepriamej eulerovej metody
F=inv(eye(size(A))-dt*A);
G=F*dt*B;

% pociatocne podmienky
iL=0;
uC=10;
X=[iL;uC];

n=1;
% nepriama eulerova metoda 
for t = 0:dt:Tsim
        X=F*X+G*u;
        iL(n)=X(1);
        uC(n)=X(2);
        time(n)=t;
        n=n+1;
end

% priebehy
figure 
subplot(2,1,1)
plot(time,uC)
ylabel('uC [V]');
xlabel('t [s]');
grid on

subplot(2,1,2)
plot(time,iL)
ylabel('iL [A]');
xlabel('t [s]');
grid on

Online simulácia

Spustiť simuláciu

../../../_images/parallel_rlc.png — Obr. 4.9 Priebehy elektrických veličín paralelného RLC obvodu.#